Trojúhelníky

Pravidla trojúhelníku, Druhy trojúhelníku, Výšky trojúhelníku, Obsah trojúhelníku, Obvod trojúhelníku

Pravidla:

Na obrázku je vidět trojúhelník, který je tvořen vrcholy A, B a C; jedná se tak o trojúhelník ABC. Najdeme zde tři strany: AB, BC, AC. Dále si všimněte, že tyto strany jsou ještě navíc pojmenovány malými písmeny. Toto pojmenování má své pravidlo - naproti vrcholu A máme stranu a. Naproti vrcholu B je strana b a naproti vrcholu C je strana c. Po daném vrcholu je tak vždy pojmenována protější strana; ta strana, která není tvořena daným vrcholem.

Každý trojúhelník má tři vnitřní úhly, které obvykle označujeme řeckými písmeny alfa α, beta β a gama γ. Součet všech tří vnitřních úhlů musí vždy dát 180 stupňů.

Trojúhelník nemá žádné úhlopříčky, ale má těžnice a výšky.

Trojúhelníková nerovnost 

Trojúhelníková nerovnost je důležitý vztah, který v trojúhelníku platí. Platí, že součet délek dvou libovolných stran je vždy větší než délka třetí, zbývající strany. Když to zapíšeme:

Co by se stalo, kdyby tato nerovnost neplatila? Tj. pokud platilo, že jedna strana je delší než zbývající dvě v součtu? Nemohl by vzniknout trojúhelník, protože ty dvě strany budou příliš krátké a "nedosáhnou na sebe".

Trojúhelník nemůže vzniknout

Pokud by tam platila rovnost, tj. dvě strana by byly v součtu stejně dlouhé jako třetí, strana, pak by při pokusu narýsovat trojúhelník by všechny body ležely na jedné přímce:

Vrchol C leží na straně AB a celé tři body tak netvoří trojúhelník

Trojúhelníková nerovnost se používá i při definicích jiných pojmů, často nějak souvisejících se vzdáleností, kde je tento princip nejpřirozenější. Pokud se budeme bavit o vzdálenostech v reálném světě, tak jistě platí, že přímá cesta (vzdušnou čarou) z Prahy do Brna je určitě kratší než cesta z Prahy do Liberce a pak z Liberce do Brna.

Druhy trojúhelníků 

U trojúhelníků rozeznáváme několik různých druhů, z pravidla v závislosti na délkách stran a úhlech.

• Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé. Zároveň platí, že všechny vnitřní úhly mají velikost 60 stupňů. Rovnostranný trojúhelník

• Rovnoramenný trojúhelník má dvě strany stejně dlouhé a třetí strana má délku jinou. Těm stranám, které jsou stejně dlouhé, se říká ramena, třetí straně se říká základna. Úhel, který svírají ramena takového trojúhelníku se základnou, je vždy shodný. Rovnoramenný trojúhelník. Červeně jsou vyznačeny shodné úhly

• Ostroúhlý trojúhelník má každý vnitřní úhel ostrý, tj. menší než 90 stupňů. Ostroúhlý trojúhelník.

• Pravoúhlý trojúhelník má právě jeden úhel pravý, tj. o velikosti 90 stupňů. Trojúhelník nemůže mít dva pravé úhly, protože součet vnitřních úhlů je roven 180 - třetí úhel by pak musel mít velikost nula, což není možné. V pravoúhlém trojúhelníku platí slavná Pythagorova věta. Pro další informace si přečtěte samostatný článek o pravoúhlém trojúhelníku. Pravoúhlý trojúhelník

• Tupoúhlý trojúhelník má právě jeden úhel, jeho velikost je větší než 90 stupňů. Opět pozor na to, že trojúhelník nemůže mít dva úhly větší než 90 stupňů, takže zbývající dva úhly musí být nutně ostré, tj. menší než 90 stupňů. Tupoúhlý trojúhelník; červeně je vyznačený tupý úhel

Výšky trojúhelníku

Výška trojúhelníku je úsečka. Jedním vrcholem úsečky je vrchol trojúhelníku a druhým vrcholem je bod na protější straně trojúhelníku, přičemž samotná výška musí být k této straně kolmá.

Ostroúhlý trojúhelník 

Výšku jsme vedli z vrcholu C. Druhý bod leží na protější straně AB (neboli strana c) a úsečka CPc je kolmá na stranu c. Bod Pc se nazývá pata výšky; stranu c nazýváme základnou. Patu obvykle pojmenováváme po písmenu P s dolním indexem, kde je vrchol, z kterého výška vede. V tomto případě je to vrchol C.

Výška se rýsuje celkem snadno, vezmete si pravítko a vedete kolmici ze strany ctak, aby tato kolmice protla právě bod C. To je vše.

Výšku můžeme vést z každého vrcholu trojúhelníka. Všechny výšky se pak protínají v bodě, které se nazývá ortocentrum. Ortocentrum může ležet vevnitř trojúhelníku, ale také nemusí. V případě ostroúhlého trojúhelníku leží ortocentrum vevnitř trojúhelníku:

Červeně jsou vyznačeny všechny tři výšky trojúhelníku. Všimněte si, že každá výška je kolmá ke své straně. Výšky označujeme malým písmenem v s dolním indexem, kde vložíme označení, z kterého vrcholu výška vede. V případě výšky BPb tak mluvíme o výšce vb. Samotné ortocentrum je označeno zeleným bodem V.

Tupoúhlý trojúhelník 

V případě tupoúhlého trojúhelníku se musíte dopustit jistého fíglu. Ortocentrum vznikne mimo vnitřek trojúhelníku a některé výšky ve skutečnosti nemohou protnout strany, které by protnout měly. Toto se řeší tak, že se požadované strany trojúhelníku "protáhnou" tak, aby to zkrátka vyšlo. Opět se podívejte na obrázek:

Tupoúhlý trojúhelník s vyznačenými výškamiZákladem je tučně zvýrazněný trojúhelník ABC. Tento trojúhelník je tupoúhlý, úhel ACB má velikost větší než 90 stupňů. Výšku z vrcholu C narýsujeme v pohodě, ale už s výškou z vrcholu B budeme mít problém. Nenajdeme kolmici ke straně AC, která by protla jak stranu AC, tak vrchol B. To vyřešíme tak, že vytvoříme polopřímku AC a protáhneme tak stranu AC jak je potřeba. Kolmici hledáme na této polopřímce. Zde už kolmici nalezneme. Pata kolmice se nachází na nově vzniklé polopřímce. Stejně tak narýsujeme i zbývající výšku.

Nyní máme narýsované všechny tři výšky trojúhelníku. Problémem je, že tyto výšky se nikdy neprotly a nevytvořili tak ortocentrum. To zařídíme tak, že narýsujeme tři nové polopřímky ve směru výšek tak, aby se někde nad trojúhelníkem protly. Samotné výšky ale nijak měnit nebudeme.

Pravoúhlý trojúhelník 

V pravoúhlém trojúhelníku je to nejjednodušší, protože dvě výšky budou shodné s dvěma stranami trojúhelníka, konkrétně s odvěsnami. Ortocentrum pak bude ve vrcholu, který je naproti přeponě.

Obsah trojúhelníku

Obsah trojúhelníku můžeme zjistit dvěma hlavními způsoby. Buď doplníme trojúhelník na čtverec, obdélník nebo rovnoběžník.

Nejprve se podíváme, jak bychom obsah trojúhelníku počítali v případě, kdy se jedná o pravoúhlý trojúhelník. Doplnili bychom trojúhelník na obdélník, vypočítali bychom obsah tohoto obdélníku a výsledek vydělili dvěma. Graficky to znázorňuje následující obrázek:

Jenže trojúhelník, který není pravoúhlý, nemůžeme takto snadno doplnit na obdélník. Ale můžeme ho doplnit na rovnoběžník tak, že z bodu C povedeme úsečku, která bude rovnoběžná s úsečkou AB a bude také stejně dlouhá. Pak povedeme úsečku z bodu A tak, aby byla rovnoběžná s úsečkou BC a aby byla stejně dlouhá. Dostaneme tento rovnoběžník:

Otázkou je, jak vypočítáme obsah tohoto rovnoběžníku. Nemůžeme vynásobit dvě sousední strany jako v případě obdélníku. Nicméně z tohoto rovnoběžníku můžeme jednoduše vytvořit obdélník, který bude mít stejný obsah jako rovnoběžník. Platí, že následující červeně zvýrazněné trojúhelníky mají stejný obsah:

Pokud trojúhelník AED přesuneme na místo trojúhelníku BFC, získáme tak obdélník se stejným obsahem:

Toto už je obdélník a jeho obsah se tak rovná součinu délek dvou sousedních stran. Jenže jaká je délka strany AE nebo BF? Když se pozorně podíváte na tučně zvýrazněný původní trojúhelník ABC, tak zjistíte, že délka strany AEpřesně odpovídá délce výšky trojúhelníku z vrcholu C. Takže co můžeme napsat o obsahu tohoto obdélníku? Že obsah je roven:

kde vc je výška z vrcholu C. Obsah trojúhelníku je pak roven polovině tohoto obsahu:

Finální vzorec:

Vzorec můžeme samozřejmě zobecnit na kteroukoliv ze tří stran:

Přičemž va, vb a vc značí výšky ke stranám a, b a c. 

Obvod trojúhelníku

Obvodem trojúhelníku rozumíme součet všech tří stran trojúhelníku. Označme délky tří stran jako a, b, c. Potom platí, že obvod trojúhelníku, označíme o, je roven

Následující trojúhelník má délky stran rovny a = 3, b = 5, c = 4, takže obvod bude roven